Ecuación diferencial homogénea

Una función es homogénea si al multiplicar todas sus variables por una constante (t) se cumple:

En donde α es el grado de homogeneidad

Una ecuación diferencial de la forma

es homogénea si se cumple que tanto M y N son funciones homogéneas y tienen el mismo grado de homogeneidad.

Existe una definición alternativa para una ecuación diferencial homogénea que se analizará en la sección de coeficientes constantes. 

El método de resolución consiste en:

  • Comprobar que la ecuación diferencial es homogénea
  • Despejar la derivada como función de M y N
  • Hacer una sustitución del tipo u=y/x  o  v=x/y
  • Resolver la ecuación diferencial
  • Deshacer la sustitución

Ejemplo:

Hallar la solución de la ecuación diferencial

Comprobar que la ecuación diferencial es homogénea

La ecuación diferencial es homogénea debido a que M y N son homogéneas del mismo grado

Despejar la derivada como función de M y N

Hacer una sustitución del tipo u=y/x  o  v=x/y

Resolver la ecuación diferencial

Deshacer la sustitución

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